Повторить перед темойНепрерывные случайные величины Что дальшеИтоговое повторение

Нормальное распределение: онлайн-тренажёр для 11 класса

Знакомимся с нормальным распределением. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Нормальное распределение»4 урока

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Задача 1 из 3, уровень Разминка

Какая из величин, скорее всего, распределена приближённо нормально?

День недели, в который родился случайный человек Диаметр болтов, выточенных одним станком Время ожидания электрички, которая ходит каждые 15 минут, для пассажира, пришедшего в случайный момент Последняя цифра номера случайного телефона

Подсказка и разбор этой задачи — в полном тренажёре.

Задача 3 из 3, уровень Основной

Величина A распределена нормально с μ = 10 и σ = 2, величина B — с μ = 14 и σ = 2. Какое утверждение о графиках их плотностей верно?

График B выше графика A График B шире графика A График B получается из графика A сдвигом вправо на 4 График B получается из графика A растяжением в 2 раза

Подсказка и разбор этой задачи — в полном тренажёре.

Разминка3 задания

здесь

Основной6 заданий

здесьздесь

Сложный3 задания

Ещё 9 заданий ждут в тренажёре

3 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
4 урока с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Какая из величин, скорее всего, распределена приближённо нормально?

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Пример условия

Отметьте все утверждения, верные для любой нормально распределённой величины X с параметрами μ и σ.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 4 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Пример условия

Автомат фасует кофе в пачки; масса пачки распределена нормально с σ = 2 г, а ожидание μ задаёт наладчик. Доля пачек легче 250 г должна быть около 2,3 %. Каким должно быть μ (в граммах)? Пользуйтесь правилом: для μ ± 2σ вероятность ≈ 0,954.

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

У многих величин — массы фасованных продуктов, ошибок измерений, роста — гистограмма похожа на симметричный колокол. Выясним, почему так получается и какие задачи приводят к такому распределению.

Изучим свойства кривой Гаусса — графика плотности нормального распределения — и научимся находить вероятности по её симметрии, без таблиц.

Параметр μ нормального распределения — его ожидание, σ — стандартное отклонение. Узнаем, как они меняют кривую, и запомним правило трёх сигм — главный инструмент практических расчётов.

Свойство
Плотность нормального распределения с параметрами μ и σ: 1) положительна при всех x — величина может принять любое значение; 2) её график симметричен относительно прямой x = μ, а наибольшее значение плотность принимает при x = μ; 3) при удалении x от μ плотность быстро убывает и приближается к нулю, оставаясь положительной; 4) площадь под всей кривой равна 1.
Следствие
Если X распределена нормально с параметром μ, то при любом a > 0: P(X < μ) = P(X > μ) = 0,5; P(X < μ − a) = P(X > μ + a); P(μ − a < X < μ) = P(μ < X < μ + a) = 12 · P(μ − a < X < μ + a).

Разобранный пример

Условие. Лазерным дальномером 200 раз измерили одно и то же расстояние, известное точно. Ошибки (мм) по интервалам: от −4 до −3 — 1, от −3 до −2 — 5, от −2 до −1 — 27, от −1 до 0 — 68, от 0 до 1 — 67, от 1 до 2 — 26, от 2 до 3 — 5, от 3 до 4 — 1. Похоже ли распределение ошибок на колокол? Оцените вероятность того, что ошибка по модулю меньше 1 мм и меньше 2 мм.

Ответ. похоже: симметричный колокол около 0; P(|X| < 1) ≈ 0,675, P(|X| < 2) ≈ 0,94

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Задачи, где возникает колокол».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Нормальное распределение — не закон для всех величин. Время ожидания поезда, который ходит каждые 30 минут, распределено равномерно (глава 5), а плотность времени подачи такси из главы 5 убывает: короткие ожидания вероятнее длинных, и график несимметричен. Колокол появляется, когда величина складывается из многих малых независимых влияний.
Ошибка 2
Сумма очков двух игральных кубиков — тоже сумма случайных слагаемых, но её распределение — «домик»: вероятности 136, 236, …, 636, …, 136 растут и убывают равномерно, без плавных краёв. Колокол получается, когда слагаемых много: у доски Гальтона их 10, у массы пачки — десятки мелких влияний.
Ошибка 3
Для массы яйца (μ = 60) P(X < 55) = P(X > 65), но P(X < 55) ≠ P(X > 55): точки симметричны только относительно центра μ. Запись «P(X > 55) ≈ 0,106» противоречит тому, что уже половина яиц тяжелее 60 г; верно P(X > 55) ≈ 1 − 0,106 = 0,894.