Повторить перед темойПовторяем: данные и события

Итоговое повторение: онлайн-тренажёр для 11 класса

Повторяем случайные величины перед экзаменом. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Итоговое повторение»7 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Задача 3 из 3, уровень Основной

Социологи хотят оценить долю сторонников проекта отдельно среди жителей города и среди жителей пригорода — в каждой группе с погрешностью не больше 5 процентных пунктов при любой доле. В обеих группах опрашивают поровну. Сколько всего человек достаточно опросить?

400 40 800

Подсказка и разбор этой задачи — в полном тренажёре.

Разминка3 задания

здесьздесь

Основной6 заданий

здесь

Сложный4 задания

Ещё 10 заданий ждут в тренажёре

3 из 13решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
7 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 13 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Автомат упаковывает коробки; каждая коробка оказывается без дефекта с вероятностью 0,96 независимо от других. Найдите вероятность того, что первые три коробки будут без дефекта. Ответ запишите десятичной дробью.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 1 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Пример условия

X — число успехов в 15 испытаниях Бернулли с вероятностью успеха 0,3. Отметьте все верные утверждения.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 5 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Пример условия

Трое коллег независимо друг от друга выбирают, в каком из 4 кафе пообедать; каждое кафе выбирают с равной вероятностью. Найдите ожидаемое число кафе, в которые придёт хотя бы один из них. Ответ запишите десятичной дробью.

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Начинаем итоговое повторение курса с серий независимых испытаний: вероятность последовательности, «хотя бы один успех», номер первого успеха, формула Бернулли и наиболее вероятное число успехов.

Повторим, что такое случайная величина и её распределение, как составить и прочитать распределение дискретной величины — и чем от неё отличаются непрерывные величины: равномерная и нормальная.

Повторим математическое ожидание и дисперсию случайной величины: определения, свойства, ожидание суммы — и применим их к решению, которое приходится принимать заранее, не зная исхода.

Испытания Бернулли
Серия испытаний Бернулли — независимые испытания с двумя исходами и одной и той же вероятностью успеха p, 0 < p < 1; q = 1 − p. Вероятность любой последовательности из k успехов и n − k неудач равна p^kq^n−k.
Определение
Случайная величина — числовая величина, значение которой определяется исходом случайного опыта. Распределение дискретной величины — таблица её значений x₁, …, x_n и их вероятностей p₁, …, p_n; все p_i ≥ 0 и p₁ + … + p_n = 1.

Разобранный пример

Условие. Игрок делает 6 бросков дротика, каждый попадает в сектор «20» с вероятностью 0,3 независимо от других. Найдите вероятность ровно двух попаданий и вероятность того, что попаданий будет больше ожидаемого числа.

Ответ. ≈ 0,324; ≈ 0,58

Как к этому прийти — по шагам

4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Серии испытаний: повторяем».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
6 · 0,3 = 1,8 — это ожидаемое число попаданий, а не вероятность: вероятность не бывает больше 1. Хотя бы одно попадание из шести — 1 − 0,7⁶ ≈ 0,882.
Ошибка 2
Если бросают до первого попадания в «яблочко», число бросков заранее не известно, и формула C_n^kp^kq^n−k здесь не работает: в ней n фиксировано. Номер первого успеха имеет геометрическое распределение, P(X = k) = q^k−1p.
Ошибка 3
Для «яблочка» E(X) ≈ 7,14, но первое попадание именно седьмым броском маловероятно: P(X = 7) = 0,86⁶ · 0,14 ≈ 0,057, а P(X = 1) = 0,14. У геометрического распределения самое вероятное значение всегда 1, а ожидание — взвешенное среднее всех значений: при многих сериях среднее число бросков примерно равно ему.