Повторить перед темойБиномиальное и геометрическое Что дальшеНепрерывные случайные величины

Закон больших чисел: онлайн-тренажёр для 11 класса

Узнаём, почему частота близка к вероятности. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Закон больших чисел»6 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Задача 2 из 3, уровень Разминка

Какое утверждение — следствие закона больших чисел?

После пяти дождливых дней подряд вероятность сухого дня растёт Страховая компания с 50 000 клиентов предсказывает среднюю выплату на полис точнее, чем компания с 500 клиентами При 600 бросках кубика шестёрка выпадет ровно 100 раз Чем больше бросков монеты, тем ближе число орлов к половине числа бросков

Подсказка и разбор этой задачи — в полном тренажёре.

Разминка3 задания

здесьздесьздесь

Основной6 заданий

Сложный3 задания

Со звёздочкой2 задания

Ещё 11 заданий ждут в тренажёре

3 из 14решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
6 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 14 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Вероятность события равна 0,2, опыт повторили независимо 256 раз. Найдите стандартное отклонение частоты события. Ответ запишите десятичной дробью.

3 задачи этого уровня — выше, бесплатно

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Пример условия

Вероятность события 0,15, проведено 255 независимых опытов. Найдите дисперсию частоты события. Ответ запишите десятичной дробью.

Все 6 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Пример условия

По прошлым опросам доля жителей, которые ездят на работу на машине, около 30%. Сколько жителей достаточно случайно опросить, чтобы погрешность оценки этой доли не превышала 5 процентных пунктов?

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Пример условия

Какое наименьшее число независимых опытов гарантирует по неравенству Чебышёва, что частота события отличается от его вероятности на 0,04 и больше с вероятностью не больше 0,2, какой бы ни была вероятность события?

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

До опыта частота события — случайная величина. Найдём её ожидание и стандартное отклонение и увидим, почему с ростом числа опытов частота собирается около вероятности.

Закон больших чисел объясняет, почему частота почти наверняка близка к вероятности, а среднее многих наблюдений — к ожиданию. Сформулируем его точно, выясним, чего он не утверждает, и посмотрим, как на нём держатся казино, страхование и научные расчёты.

Это углублённый материал. Неравенство Чебышёва оценивает вероятность большого отклонения, когда известны только ожидание и дисперсия; с его помощью докажем закон больших чисел.

Теорема
Пусть W — частота события A с вероятностью p в n независимых опытах. Тогда E(W) = p, D(W) = pqn и σ(W) = √(pqn), где q = 1 − p.
Теорема (закон больших чисел для частоты)
Пусть проводят n независимых опытов, в каждом из которых событие A наступает с вероятностью p, и W — частота события A. Тогда для любого числа ε > 0 вероятность P(|W − p| ≥ ε) с ростом n становится сколь угодно малой.

Разобранный пример

Условие. Решим задачу о доставке: вероятность опоздания 0,2, за неделю 50 заказов, частота опозданий 0,26. Обычное ли это колебание?

Ответ. обычное колебание: частота отклонилась от 0,2 примерно на одно стандартное отклонение

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Частота и вероятность: вместе».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
При p = 0,5 и n = 100 σ(W) = √(0,25100) = 0,05. Запись σ(W) = √(pq)n = 0,5100 = 0,005 занижает разброс в 10 раз: на n делится дисперсия, а стандартное отклонение — на √n.
Ошибка 2
При p = 0,1 и n = 900 дисперсия числа успехов npq = 81, а дисперсия частоты pqn = 0,09900 = 0,0001 и σ(W) = 0,01. Разброс числа успехов с ростом n растёт, а разброс частоты — убывает; их нельзя путать.
Ошибка 3
При n = 400 1√n = 0,05, а σ(W) при p = 0,5 — только 0,025. Ориентир — два наибольших стандартных отклонения: отклонение частоты на 0,03 при n = 400 — ещё в пределах ориентира, хотя оно больше одного σ.