Повторить перед темойДисперсия случайной величины Что дальшеЗакон больших чисел

Биномиальное и геометрическое: онлайн-тренажёр для 11 класса

Считаем ожидание и дисперсию числа успехов. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Биномиальное и геометрическое»5 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесь

Основной6 заданий

здесь

Сложный3 задания

Со звёздочкой2 задания

Ещё 11 заданий ждут в тренажёре

3 из 14решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
5 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 14 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Официант обслужил за смену 30 столиков; гости за каждым столиком независимо от других оставляют чаевые с вероятностью 0,35. Сколько столиков с чаевыми в среднем бывает за такую смену? Ответ запишите десятичной дробью.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 1 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Пример условия

Число успехов в серии испытаний Бернулли имеет ожидание 18 и дисперсию 10,8. Найдите число испытаний.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 5 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Пример условия

Курьер за день выполняет 40 доставок и получает 250 р. за каждую. Каждая доставка независимо от других опаздывает с вероятностью 0,12, и за каждое опоздание из оплаты вычитают 500 р. Найдите ожидание дневного заработка курьера (в рублях).

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Пример условия

Квест состоит из двух этапов. Этап проходят попытками, пока не пройдут: на первом этапе каждая попытка удачна с вероятностью 0,5, на втором — с вероятностью 0,25; все попытки независимы. Найдите дисперсию общего числа попыток.

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Число успехов в серии испытаний Бернулли имеет биномиальное распределение. Докажем, что его ожидание равно произведению числа испытаний на вероятность успеха, и применим это к перевозкам, складу и производству.

Ожидание np говорит, сколько успехов будет в среднем, а дисперсия — насколько число успехов обычно отклоняется от np. Найдём D(X) = npq и выясним, как разброс зависит от n и от p.

Номер первого успеха в серии независимых испытаний имеет геометрическое распределение. Определим ожидание величины с бесконечным числом значений, докажем, что у геометрического распределения оно равно 1/p, и оценим, сколько попыток, денег и времени уходит в среднем до первой удачи.

Теорема
Если X — число успехов в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха p, то E(X) = np.
Правило
Если случайные величины X и Y независимы, то D(X + Y) = D(X) + D(Y). Так же для любого числа попарно независимых величин: D(X₁ + … + X_n) = D(X₁) + … + D(X_n).

Разобранный пример

Условие. В постамат положили 12 посылок. Получатель забирает посылку в первый же день с вероятностью 0,65, независимо от других получателей. Сколько посылок в среднем заберут в первый день и сколько ячеек в среднем останутся занятыми?

Ответ. в среднем заберут 7,8 посылки, занятыми останутся 4,2 ячейки

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Ожидание числа успехов: np».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
«В среднем 9,8 неявки — значит, на рейс не придут 10 человек». Ожидание не обязано быть возможным значением, и округлять его не нужно: 9,8 — среднее по многим рейсам, а на конкретном рейсе неявок бывает и 6, и 13. Наиболее вероятное число неявок к тому же 9, а не 10. В расчётах выручки и мест используют само 9,8.
Ошибка 2
Из 40 писем рассылки каждое попадает в спам с вероятностью 0,15. Ожидаемое число писем во «Входящих» — 40 · 0,85 = 34, а не 40 · 0,15 = 6: шесть — это ожидаемое число писем в спаме. Прежде чем умножать, решите, что считается успехом, и возьмите вероятность именно этого события.
Ошибка 3
Учитель раздаёт наугад 5 карточек из 15, на 6 из них задачи по геометрии. Испытания зависимы, но все порядки раздачи равновозможны, поэтому k-я карточка — любая из 15 и попадает на геометрию с вероятностью 615 = 0,4. Ожидаемое число геометрических задач 5 · 0,4 = 2. Независимость нужна формуле Бернулли, а не ожиданию.