Повторить перед темойМатематическое ожидание Что дальшеБиномиальное и геометрическое

Дисперсия случайной величины: онлайн-тренажёр для 11 класса

Измеряем разброс случайной величины. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Дисперсия случайной величины»6 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесь

Основной6 заданий

здесь

Сложный3 задания

Со звёздочкой2 задания

Ещё 11 заданий ждут в тренажёре

3 из 14решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
6 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 14 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Дисперсия случайной величины равна 1,69. Найдите её стандартное отклонение. Ответ запишите десятичной дробью.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 1 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Пример условия

D(X) = 1,5. Найдите D(−2X + 1).

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 5 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Пример условия

Известно, что E(X) = 3 и D(X) = 4. Найдите E(Y²), где Y = 2X − 1.

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Пример условия

Случайные величины X и Y независимы, D(X) = 10, D(Y) = 26. Найдите σ(X − Y).

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Две случайные величины с одинаковым ожиданием могут вести себя совсем по-разному. Выясним, как описать, насколько значения величины удаляются от её ожидания, и почему простое среднее отклонений для этого не годится.

Дисперсия — ожидание квадрата отклонения величины от её ожидания. Вспомним определение из 9 класса, свяжем его с дисперсией набора данных и научимся считать дисперсию по таблице распределения.

Стандартное отклонение — квадратный корень из дисперсии. Оно измеряется в тех же единицах, что и сама величина, и поэтому удобно для сравнения и для разговора о риске.

Определение
Отклонение случайной величины X от ожидания — величина X − E(X). Её значения x₁ − E(X), …, x_n − E(X) показывают, на сколько и в какую сторону значение отличается от ожидания; вероятности у них те же p₁, …, p_n.
Теорема
Для любой случайной величины X ожидание её отклонения равно нулю: E(X − E(X)) = 0.

Разобранный пример

Условие. Сумма X чека в магазине у дома (в сотнях рублей) равна 2, 5 или 11 с вероятностями 0,5, 0,3 и 0,2. Найдите ожидание, составьте распределение отклонения X − E(X) и проверьте, что его ожидание равно нулю.

Ответ. E(X) = 4,7; отклонения −2,7, 0,3, 6,3 с вероятностями 0,5, 0,3, 0,2; E(X − E(X)) = 0

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Почему одного ожидания мало».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
X принимает значения 0 и 100 с вероятностями по 0,5, а Y всегда равна 50. У обеих ожидание 50 и E(X − 50) = E(Y − 50) = 0, хотя X всегда отстоит от 50 на 50, а Y не отклоняется вовсе. Ожидание отклонения равно нулю у любой величины и о разбросе ничего не говорит.
Ошибка 2
Метро и автобус в среднем занимают по 40 минут, но опоздать на работу, выйдя за 45 минут, можно только на автобусе. Сравнивая величины, смотрите не только на ожидание, но и на то, насколько далеко и как часто значения уходят от него.
Ошибка 3
X принимает значения 2 и 6 с вероятностями 0,75 и 0,25. Середина между значениями — 4, но ожидание E(X) = 1,5 + 1,5 = 3. Отклонения считают от ожидания: −1 и 3, а не −2 и 2. Проверка: ожидание отклонения −1 · 0,75 + 3 · 0,25 = 0, а у «отклонений от середины» −2 · 0,75 + 2 · 0,25 = −1 ≠ 0.