Повторить перед темойПовторяем курс 10 класса Что дальшеДисперсия случайной величины

Математическое ожидание: онлайн-тренажёр для 11 класса

Находим среднее значение случайной величины. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 2 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Математическое ожидание»6 уроков

2 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 2

Разминка3 задания

здесь

Основной6 заданий

здесь

Сложный3 задания

Ещё 10 заданий ждут в тренажёре

2 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
6 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 2 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Математическое ожидание случайной величины X равно 1,6. Найдите E(X + 4).

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 6 заданий

Пример условия

Отметьте все утверждения, верные для любых случайных величин X и Y одного опыта и любого события A.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 5 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 3 задания

Все 3 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Случайная величина и её распределение знакомы вам по 10 классу. Повторим, как составлять и проверять распределение, и посмотрим, как оно получается из обычной таблицы данных.

Математическое ожидание — среднее значение случайной величины, в котором каждое значение учтено со своей вероятностью. Вспомним определение из 9 класса, выясним его смысл и докажем, как ожидание меняется при сдвиге и растяжении величины.

Ожидание выигрыша показывает, выгодна ли игра в среднем, а ожидание выплат — сколько должна стоить страховка. Разберём, как с помощью ожидания оценивают лотереи, игры и страховые тарифы.

Вспоминаем определения
Случайная величина — величина, значение которой определяется исходом случайного опыта: каждому элементарному событию сопоставлено одно число. Распределение случайной величины X с конечным числом значений — перечень её значений x₁, x₂, …, x_n вместе с вероятностями p₁, p₂, …, p_n, где p_i = P(X = x_i).
Правило
Пусть из n объектов наугад выбирают один так, что все объекты имеют равные шансы, и X — значение признака у выбранного объекта. Тогда P(X = a) — относительная частота значения a в наборе: число объектов со значением a, делённое на n.

Разобранный пример

Условие. Стоматологическая клиника по данным за год оценила распределение числа X пациентов, которые за день не пришли на приём: X принимает значения 0, 1, 2, 3, 4 с вероятностями 0,25, 0,35, 0,2, a, 0,05. Найдите a, наиболее вероятное значение X и вероятность того, что за день не придут хотя бы двое.

Ответ. a = 0,15; чаще всего не приходит один пациент; P(X ≥ 2) = 0,4

Как к этому прийти — по шагам

4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Распределение: вспоминаем».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
Если в строку вероятностей записать сами частоты, сумма выйдет равной числу объектов, а не 1. Вероятность — частота, делённая на число объектов: из 250 отзывов о другом товаре 30 с оценкой «3» дают P(X = 3) = 30 : 250 = 0,12, а не 30.
Ошибка 2
У купонов пять значений скидки, но P(X = 400) ≠ 15: скидке 400 р. благоприятствует одна пара из 15, а скидке 300 р. — шесть. Равновозможны пары купонов, а не суммы. Классическую формулу применяют к элементарным событиям, а не к значениям величины.
Ошибка 3
X принимает значения 0 и 10 с вероятностями 0,9 и 0,1. Среднее арифметическое значений (0 + 10) : 2 = 5 — не ожидание: так считают, будто значения равновероятны. E(X) = 0 · 0,9 + 10 · 0,1 = 1.