Решение треугольников: онлайн-тренажёр для 9 класса
Теоремы синусов и косинусов. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.
Все 13 заданий темы — в полном тренажёре
- Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
- 8 уроков с теорией и чертежами
- Отчёт для родителя: что решено и где ошибки
Пробуйте. Условия — для родителей
Уровни сложности
В теме 13 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой.
Коротко о теме
Выведем формулу площади треугольника по двум сторонам и углу между ними — для острого, прямого и тупого угла.
Докажем, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними.
Докажем, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, и научимся находить по этой теореме стороны и углы.
- Теорема
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними: S = 12 · ab · sin C.
- Теорема
Площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними: S = 12 · d1 · d2 · sin φ.
Разобранный пример
Условие. Две стороны треугольника равны 7 см и 10 см, угол между ними — 150°. Найдите площадь треугольника.
Ответ. 17,5 см2.
2 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Площадь треугольника через синус».
Открыть разбор →Частые ошибки
-
Ошибка 1В треугольнике ABC даны AB = 5, AC = 8 и угол B = 40°. Формулу 12 · 5 · 8 · sin 40° применять нельзя: угол между сторонами AB и AC — это угол A, а не B.
-
Ошибка 2Во втором разборе из sin C = 12 берут только 30°. Но угол 150° даёт другой треугольник с той же площадью. Если в условии нет данных о виде угла, ответов два.
-
Ошибка 3Площадь по сторонам 4 и 6 и углу 120° считают как 12 · 4 · 6 · cos 120° = −6 — площадь не бывает отрицательной. Нужен синус: 12 · 4 · 6 · √32 = 6√3. Косинус показывает, острый угол или тупой, а для площади нужна высота — она через синус.
Геометрия · 9 класс
Что внутри темы
- Урок 1Площадь треугольника через синус
- Урок 2Площадь четырёхугольника через диагонали
- Урок 3Теорема синусов
- Урок 4Теорема синусов и описанная окружность
- Урок 5Теорема косинусов
- Урок 6Решаем треугольник по трём элементам
- Урок 7Измерения на местности
- Урок 8Проверь себя: решение треугольников
В полном тренажёре — 8 уроков с теорией и чертежами, задания 4 уровней, подсказки и разбор каждой задачи.
Чему научится ученик
- Находить площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними
- Находить площадь четырёхугольника через диагонали и угол
- Доказывать и применять теорему синусов с радиусом описанной окружности
- Доказывать и применять теорему косинусов
- Решать треугольник по трём заданным элементам
Ключевые понятия:теорема синусовтеорема косинусоврадиус описанной окружностирешение треугольника
Что требует школьная программа
Выводить и применять теоремы синусов и косинусов, формулы площади через синус, решать треугольники в практических задачах.
Что повторить и что дальше
Синус, косинус, тангенс до 180°Геометрия, 9 класс
Геометрия, 9 классВопросы
Решение треугольников · 9 классВ каком классе проходят тему «Решение треугольников»?
В 9 классе, предмет «Геометрия».
Что повторить перед этой темой?
Синус, косинус, тангенс до 180° (9 класс).
Что можно решить бесплатно?
Несколько задач прямо на этой странице. Подсказки, пошаговые решения и задания всех уровней — в полном тренажёре, первые 14 дней бесплатно.
Все темы 9 класса и отчёт для родителя
Первые 14 дней полный тренажёр бесплатно.
