Повторить перед темойМножества и логика Что дальшеИтоговое повторение

Натуральные и целые числа: онлайн-тренажёр для 11 класса

Работаем с делимостью и остатками. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложныйСо звёздочкой

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Натуральные и целые числа»7 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесь

Основной5 заданий

здесь

Сложный4 задания

здесь

Со звёздочкой2 задания

Ещё 11 заданий ждут в тренажёре

3 из 14решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
7 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 14 заданий на 4 уровнях: разминка, основной, сложный, со звёздочкой. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

Соедините каждое число с его разложением на простые множители.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Отметьте все числа, которые делятся на 18.

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 4 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Пример условия

Сколько пар натуральных чисел x, y удовлетворяют уравнению x² − y² = 77?

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 3 —в полном тренажёре

Со звёздочкойОлимпиадный, для смелых · 2 задания

Пример условия

Найдите остаток от деления числа 5¹⁰⁰ на 13.

Все 2 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Дадим определение делимости для всех целых чисел, в том числе отрицательных, и докажем свойства, по которым о делимости суммы и произведения судят без вычислений.

Докажем признаки делимости на 2, 5, 10, 4, 25, 3, 9 и 11 и научимся проверять делимость на составное число по его взаимно простым множителям.

Вспомним простые числа, докажем, что их бесконечно много и что разложение на простые множители существует, и выведем из разложения НОД, НОК и признак делимости на составное число.

Определение
Целое число a делится на целое число b ≠ 0, если существует целое число k, такое что a = bk. Тогда b называют делителем числа a, а a — кратным числа b. Записывают a ⋮ b; знак «⋮» читают «делится на».
Свойства
Пусть a, b, c, m — целые числа, причём числа, на которые делят, не равны нулю. 1) Если a ⋮ m и b ⋮ m, то (a + b) ⋮ m и (a − b) ⋮ m. 2) Если a ⋮ m, то ac ⋮ m при любом целом c. 3) Если a ⋮ b и b ⋮ c, то a ⋮ c. 4) Если (a + b) ⋮ m и a ⋮ m, то b ⋮ m. 5) Если a ⋮ b и a ≠ 0, то |a| ≥ |b|.

Разобранный пример

Условие. Докажите, что сумма пяти последовательных целых чисел делится на 5.

Ответ. сумма равна 5n и делится на 5 при любом целом n

Как к этому прийти — по шагам

2 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Делимость и её свойства».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
23 + 17 = 40 делится на 10, но ни 23, ни 17 на 10 не делятся. Свойство 1 работает в одну сторону: делятся оба слагаемых — делится сумма. Обратный вывод верен, только если известно, что делится одно из слагаемых (свойство 4).
Ошибка 2
Ищут целые n, при которых n + 8n + 3 — целое число: n + 8 = (n + 3) + 5, значит, n + 3 — делитель 5. Если взять только n + 3 = 1 и n + 3 = 5, получится n = −2 и n = 2, а n = −4 и n = −8 (n + 3 = −1 и −5) потеряны. У целого числа делители парами: d и −d.
Ошибка 3
«Число делится на 4 и на 10, значит, на 40». Неверно: 20 делится и на 4, и на 10, но не на 40. Признак требует НОД(m; n) = 1, а НОД(4; 10) = 2. Из делимости на 4 и на 10 следует делимость на НОК(4; 10) = 20 — это докажем в следующем параграфе.