Повторить перед темойПоказательная функция Что дальшеЛогарифмическая функция

Логарифм числа: онлайн-тренажёр для 11 класса

Находим показатель степени: логарифм. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Логарифм числа»7 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесь

Основной8 заданий

здесьздесь

Сложный5 заданий

Ещё 13 заданий ждут в тренажёре

3 из 16решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
7 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 16 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

При каких x выражение log₃ (x − 4) имеет смысл?

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 2 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 8 заданий

Пример условия

Вычислите 2 · lg 5 + lg 40.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 6 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 5 заданий

Пример условия

Расположите числа в порядке возрастания.

Все 5 заданий — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Разберём задачу, в которой неизвестен показатель степени, и убедимся, что ответ у неё есть всегда — даже когда он не целый. Так появится новое число — логарифм.

Дадим точное определение логарифма, выясним, откуда ограничения на основание и на число под знаком логарифма, и выведем основное логарифмическое тождество.

Докажем три главных свойства логарифмов — логарифм произведения, частного и степени — и научимся вычислять выражения, в которых каждый логарифм по отдельности не вычисляется.

Свойство
Если a > 0, a ≠ 1 и b > 0, то уравнение a^x = b имеет ровно один корень. Если b ≤ 0, корней нет.
Определение
Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a > 0 и a ≠ 1, называют показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b. Обозначение: log_a b.

Разобранный пример

Условие. Найдите показатель x: 4^x = 64; 4^x = 116; 4^x = 2; 4^x = 8

Ответ. 3; −2; ¹/₂; 3/2

Как к этому прийти — по шагам

4 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Задача, которая приводит к логарифму».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
log₂ 100 — это не 100 : 2 = 50. Логарифм отвечает на вопрос «в какую степень возвести 2, чтобы получить 100», а не «во сколько раз 100 больше 2». Проверка сразу показывает ошибку: 2⁵⁰ — число с шестнадцатью цифрами, а не 100.
Ошибка 2
В уравнении x³ = 64 неизвестно основание: x = ∛64 = 4. В уравнении 3^x = 64 неизвестен показатель: x = log₃ 64, и это не 4, ведь 3⁴ = 81. Прежде чем решать, посмотрите, где стоит неизвестное.
Ошибка 3
Уравнение 2^x = 100 не решается подбором целого числа, но корень у него есть. Корней нет только тогда, когда правая часть не положительна: у уравнений 2^x = −4 и 2^x = 0 их нет, потому что 2^x > 0.