Что дальшеИтоги года

Графы: онлайн-тренажёр для 7 класса

Точки и линии решают задачи. Попробуйте задачи прямо здесь — ответ проверится сразу. Ниже — главное правило, разобранный пример и ошибки, на которых чаще всего теряют баллы.

УровниРазминкаОсновнойСложный

Решить 3 задачи бесплатно ↓ Весь тренажёр — 14 дней бесплатно

Глава «Графы»6 уроков

3 задачи по теме — реши здесь без регистрации

Решено 0 из 3

Разминка3 задания

здесьздесь

Основной5 заданий

здесь

Сложный4 задания

Ещё 9 заданий ждут в тренажёре

3 из 12решаются на этой странице

Подсказка и пошаговое решение каждой задачи
6 уроков с теорией и чертежами
Отчёт для родителя: что решено и где ошибки

Открыть все — 14 дней бесплатно

Пробуйте. Условия — для родителей

Уровни сложности

В теме 12 заданий на 3 уровнях: разминка, основной, сложный. 3 задачи из них решаются выше бесплатно, остальные — в полном тренажёре.

РазминкаВспомнить и разогреться · 3 задания

Пример условия

В графе 9 рёбер. Чему равна сумма степеней всех его вершин? Ответ запишите числом.

2 задачи этого уровня — выше, бесплатно Ещё 1 —в полном тренажёре

ОсновнойТо, что спросят в школе · 5 заданий

Пример условия

Степени вершин связного графа: 2, 2, 3, 3, 3, 3. Есть ли в нём эйлеров путь?

1 задача этого уровня — выше, бесплатно Ещё 4 —в полном тренажёре

СложныйС подвохом, но по силам · 4 задания

Пример условия

В классе 15 учеников, и каждый дружит ровно с четырьмя одноклассниками. Сколько в классе пар друзей? Ответ запишите числом.

Все 4 задания — в полном тренажёре 14 дней бесплатно →

Коротко о теме

Карта дорог, список друзей, схема метро — во всех этих случаях важно не где что стоит, а что с чем соединено. Такие связи изображают графом: точками-вершинами и линиями-рёбрами.

Степень вершины — сколько рёбер из неё выходит. Докажем, что сумма степеней всех вершин всегда вдвое больше числа рёбер, и узнаем, почему вершин нечётной степени всегда чётное число.

По графу можно путешествовать: переходить из вершины в соседнюю по рёбрам. Разберёмся, что такое путь, когда путь называют цепью и что такое цикл.

Определение
Граф — набор точек, которые называют вершинами, и линий, которые называют рёбрами. Каждое ребро соединяет две разные вершины. Две вершины могут быть соединены и несколькими рёбрами — например, двумя мостами через реку.
Определение
Степень вершины — число рёбер, которые из неё выходят. Если две вершины соединены двумя рёбрами, каждое ребро считается отдельно. Вершину нечётной степени называют нечётной вершиной, чётной степени — чётной.

Разобранный пример

Условие. Шесть ребят переписываются в мессенджере. Аня переписывается с Борей и Витей, Боря — с Аней, Витей и Гришей, Гриша — с Борей и Дашей, Даша — с Гришей. Ещё есть Егор, который ни с кем не переписывается. Постройте граф переписки. У кого больше всего собеседников? Сколько рёбер в графе?

Ответ. Больше всего собеседников у Бори — трое; в графе 6 вершин и 5 рёбер.

Как к этому прийти — по шагам

3 шага с пояснениями — в полном тренажёре, в уроке «Граф: вершины и рёбра».

Открыть разбор →

Частые ошибки

Ошибка 1
На рисунке рёбра A — D и B — C пересеклись посередине, и ученик насчитал лишнюю вершину. Вершины — только те точки, которые названы; пересечение линий — не вершина.
Ошибка 2
«Аня переписывается с Борей» и «Боря переписывается с Аней» — одна и та же переписка. Если провести два ребра, число рёбер вырастет вдвое, хотя пар не прибавилось.
Ошибка 3
На одном рисунке граф выглядит треугольником с хвостом, на другом — «звездой». Если вершины и пары соседей одни и те же, это один и тот же граф.